英国数学家公开黎曼猜想证明过程

当地时间9月24日上午9时45分（北京时间9月24日下午15时45分），现年89岁的英国著名数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah，1929年4月生人）登上了海德堡论坛，开始了他的演讲——黎曼猜想。此前，这位菲尔兹奖和阿贝尔奖的双料得主宣布，已证明世纪难题黎曼猜想。就在演讲前，网传一份证明黎曼假设（猜想）的的5页预印本被人贴出。

DeepTech深科技刊文称，从这次会议来看，阿蒂亚实际上并没有完全给出黎曼猜想的证明，他的工作似乎集中在试图推导出精细结构常数上，而证明黎曼猜想只是个意外的惊喜。无论结果如何，阿蒂亚的演讲引发了一次空前的科普盛世，推动分支学科进行更深入的交叉。




迈克尔·阿蒂亚做演讲，图片来源见水印

黎曼猜想及其被证明的意义

微信公号“新智元”刊文称，“黎曼猜想”是数学界迄今最重要的猜想之一，被克雷数学研究所列为“有待解决的七大千禧问题”，并悬赏100万美元给第一个提供证明或证伪的人。

黎曼猜想之所以重要，主要是因为在现代数学中，有很多深入和重要的数学、物理结果都能在它成立的前提下得到证明。如今，大部分的数学家都倾向于相信黎曼猜想是正确的。

因此，如果黎曼猜想被证明，大家都松了一口气，我们得到了一项很好的数学工具；但是，如果黎曼猜想被证伪，那很多数学、物理结果都得推翻重来。

黎曼猜想最初于 1859 年由德国数学家波恩哈德·黎曼提出。当时，黎曼在向柏林科学院提交的一篇短论文（共八页），讨论了素数（也称质数）分布的问题。

素数是除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。素数分布在数论中有很重要的地位，相当于原子概念在现代物理学中的地位。黎曼发现，素数在自然数中的分布并不是毫无规律可循，而是其分布与黎曼ζ函数紧密相关。




黎曼 ζ 函数

黎曼将该函数解析延拓至整个复平面，并指出：黎曼ζ函数的非平凡零点（是指 s 不为-2、-4、-6‧‧‧等点的值，这些都是平凡零点）的实数部分都是 1/2。

简单说，就是根据一个重要的数学公式，能够画出无穷多个点。黎曼猜测说，这些点有一定的排列规律，一部分在一条横线上，另一部分则在一条竖线上，所有这些点都在这两条直线上排列，无一例外。






由于这些点有无穷多个，所以理论上是没有办法证明是不是所有的点都在这两条线上，因为永远也验证不完。

但是，只要找到了一个点不在线上，那就推翻了黎曼猜想。

现在，数学家使用计算机，已经验证了最初的15亿个这样的点，全都符合黎曼猜想的排列规律。不过，至今尚无人给出完整的理论证明。

因此，3天前，2018年的德国海德堡获奖者论坛日程公布，阿蒂亚将会做一场关于 “证明黎曼猜想”的报告的消息便迅速传遍世界，无论是数学、物理还是计算机，甚至完全不相干的各路吃瓜群众，全都开始关注这一焦点。

值得注意的是，有传闻称，黎曼猜想被证明对互联网的安全加密方式将造成相当的影响，故而备受关注。DeepTech深科技刊文称，

在实际运用中，质数可以在密码学、安全认证等领域发挥作用。如现通用的 RSA 加密算法，加密计算的第一步是产生两个大质数，对极大整数做因数分解的难度决定了加密的可靠性。故寻找大质数、探寻质数分布的规律，一直是数学界关注的问题。

然而，《科技日报》援引《黎曼猜想漫谈》的知名科普作家卢昌海先生的话说，据他所知，并没有哪一种互联网加密方式是以黎曼猜想的不成立为前提。

卢昌海：我不曾留意到这样的报道。据说2005年的一部题为“头号嫌犯”的电视连续剧中有一集的剧情宣称了这种可能性，不知是否为报道之由来，但那只是电视连续剧。

现实地讲，虽然互联网的某些加密方式跟素数的性质有关，而黎曼猜想与素数的性质也有密切关系，但据我所知并没有哪一种互联网加密方式是以黎曼猜想的不成立为前提，从而会因黎曼猜想的成立而破灭的。

退一步说，哪怕有这样的加密方式，那它的破灭与否也只是依赖于黎曼猜想的成立与否，而非证明与否——证明只是对破灭的确认，并不缔造破灭的事实。

同样，对基于密码学的区块链技术领域，没有直接影响。业内人士指出，黎曼猜想被证明或证伪，都只是指出了素数的分布范围，是A规律、或是B规律，但对密码学相关的素数分解没有任何帮助。

受影响的，是数学和物理学的基础研究者，如几何、弦论……等等。

160年未解之谜

微信公号“新智元”刊文称，在过去的很长一段时间里，曾有许多人提出已经解决了黎曼假设，但是他们的证明都被指出存在失误。由于有这些先例，因此很多人对阿蒂亚的宣告持怀疑态度，甚至有数学家表示：“我的心都在经历过如此突然的兴奋和绝望之间的跳跃。”

作为当代著名数学家，阿蒂亚很清楚这种失败的历史，他说：“没有人相信任何关于黎曼假设的证据，更不用说90岁的人证明。”但他希望，他的演讲能说服他的批评者。“人们常说 ‘数学家都是在他们40岁之前就把最好的工作做出来了’，”阿蒂亚说，“我想告诉他们，他们都错了。我90岁的时候也能做点什么。”

据了解，阿蒂亚主要研究领是几何。他最重要的工作是在上世纪六七十年代完成，并于1966年获得4年颁发一次的数学界最高奖菲尔兹奖。他在1990-1995年担任英国皇家学会主席。

不过，作为一位年近九旬的科学家，他仍然活跃在学术前沿，并时常有惊人之举，2016 年他因为给出一个 “6维球面上不存在复结构” 的证明被质疑而颇具争议。

新科学家网站（NewScientist）报道，此次阿蒂亚展示他所称的黎曼假设的“简单证据”，这是近160年来数学家未曾遇到过的问题。

根据阿蒂亚事先提供的演讲摘要：“黎曼猜想是1859年提出的著名问题，至今悬而未决。我会基于冯·诺依曼（1936）、希策布鲁克（1954）和狄拉克（1928）的相关工作，给出一个使用全新方法的简洁证明。”

目前，相关论文预印版已经公开（虽然署名阿蒂亚，但目前还不能证实是否出自本人之手），单从长度看，确实担得上“简洁”，一共只有5页。

不过，据前沿科技媒体“机器之心”指出，这份在大会开幕前贴出的预印本论文，只查到出自数小时前Reddit上的一篇讨论，未能确认其出处与权威性。而且最原始的发件人并非阿蒂亚，而是一个说到自己说收到了阿蒂亚的邮件的人所发。目前，阿蒂亚的演讲直播已经结束，仍未有消息确定此论文的准确来源。（后附语印本论文）

从论文摘要中可以看到，作者希望理解量子力学中的无量纲常数——精细结构常数，并将此过程中发展出来的数学方法用于理解黎曼猜想。

“如果能确认黎曼假设的解决方案，那将是一个重大新闻，”新科学家网站称，除其他外，假设与素数的分布密切相关。而素数是指除自身和1之外，任何整数都不可分割的数。如果这个假设被证明是正确的，那么数学家就可以获得所有这些素数位置的地图，这是一个在该领域具有深远影响的突破。

对此，新科学家网联系了一些数学家对声称的证据进行评论，但他们都拒绝评价。

今天的演讲

科技媒体机器之心刊文介绍了阿蒂亚下午的演讲：




演讲现场

首先，阿蒂亚介绍了素数研究的历史以及素数与黎曼猜想的关系。




他还开了个玩笑，“解决黎曼猜想你会出名，但如果你已经是个名人，那就有声名狼藉的风险了。”




阿蒂亚表示，他的来源于阿蒂亚在2018年ICM上提出精细结构常数（Fine structure constant）的推演，这是一个物理学上长期存在的数学问题。

他花了很多时间介绍欧拉公式，这并不是因为它连接了虚数等各种元素的美丽，同时还因为连接冯·诺依曼和希策布鲁克关键思想可以得出更加一般的欧拉表达式，这对于以新的角度审视与证明黎曼猜想非常重要。阿蒂亚说：“欧拉公式相当于莎翁‘生存或毁灭’的数学等价物。”




为什么黎曼猜想如此有趣却那么难以证明？阿蒂亚表示主要有以下三个方面，首先素数表现出局部不规则性，却又渐进地表现出一些规律；其次要想知道N以内的素数数量，这是非常困难的；最后这些困难与疑惑，很多都能通过黎曼猜想得到解释，因此即使它还没有被证明，实际上已经有很多推理都建立在它之上了。

此前有很多人猜测，阿蒂亚会使用量子力学来证明黎曼猜想，但阿蒂亚在演讲中表示证明黎曼猜想的是TODD函数（一个弱解析函数），这个函数是他证明黎曼猜想的核心：




阿蒂亚介绍了 TODD 函数与黎曼猜想之间的关系，以前我们无法证明黎曼猜想，但有了新工具后就有可能解决这个问题。TODD 函数最重要的属性是能发展一种对精细结构常数 α 的解释。




然后，终于到了证明的时刻。阿蒂亚表示，所有的证明都在以下一页 PPT 上。




DeepTech深科技刊文称，在提到关于证明黎曼猜想的具体细节时，阿蒂亚并未做出证明的全部工作，其思路基于一个物理上未被完全证明的常数。

机器之心刊文称，在阿蒂亚讲完自己对黎曼猜想的证明后，他提出RH能推广到多种情况，并且一步步得到证明。同时需要对素数实现数值计算的结果，它的证明对年轻的数学、计算机科学、逻辑学和物理学研究者非常重要，但期待RH的无限扩展却又是不可判定的。




最后，阿蒂亚总结了未来预期可以做的任务：使用已有的最强大的工具，这里的工具不仅限于数学工具，还包括超级计算机甚至是量子计算机，还有其他领域例如物理学界、逻辑学界等的工具；验证所有著名的猜想（已证明的、未证明的）；确定那个可有效计算（在需要的时间尺度上）；希望数学界的后辈们权衡，哪些黎曼猜想的方面是我们有时间完成的，做出决定就无悔地去做吧！




以上就是阿蒂亚在海德堡论坛上的所有演讲内容，之后官方有完整视频放出。阿蒂亚称，他关于精细结构常数的相关论文已投稿至Royal Society。鉴于这篇文章目前还未经过同行审议，一些学者对他的推演过程存疑。

演讲结束后，许多人在推特上进行了激烈讨论，对这一页证明能否解开黎曼猜想抱有不同态度：有学者对此次黎曼猜想的证明过程质疑；也有学者认为，阿蒂亚的思路或为后续黎曼猜想证明提供了一种新思路。



在演讲前，有学者表示，对此次黎曼猜想的证明不看好。一些网民表示，在去年的国际数学大会（ICM）上，阿蒂亚就曾出现令人尴尬的场面，甚至有人表示了对阿蒂亚处境的隐隐担忧。也有一些网友调侃，用20美元打*此次证明是错的。




DeepTech深科技刊文称，从这次会议来看，阿蒂亚实际上并没有完全给出黎曼猜想的证明，他的工作似乎集中在试图推导出精细结构常数上，而证明黎曼猜想只是个意外的惊喜。

当然，肯定很多人对于此次仍缺乏大量细节的所谓“证明过程”感到不满意，但实际上，对于一部分吃瓜群众来说，我们其实感受到了这位已经89岁的数学家的探索精神和幽默感——“证明黎曼猜想，你会名声大噪。但如果你已经出名了, 你就会冒着沦落声名狼藉下场的危险。”

同时，此次海德堡论坛上对黎曼猜想的证明尝试，也掀起了社会各界的广泛关注。可以说，阿蒂亚爵士此次的演讲引发了一次空前的科普盛世。虽然对黎曼猜想的解释仍需进一步完善，但其一生中对数学做出的贡献，以及此次讲座中的一些思考，都是对未来科学家进一步探索未知的一种激励。

阿蒂亚在 89 岁高龄仍然站在探索数学问题的第一线，其对数学的热爱也可见一斑。在进行海德堡论坛上的黎曼猜想证明前，他曾表示，“我已从事数学研究 70 年，已无法停下。”用毕生信念追求理想，并为达成理想锲而不舍，这种精神也值得我们学习。

无论如何，对黎曼猜想的证明涉及了关于代数几何、代数数论及代数拓扑等多学科的审视，即使此次证明失败，阿蒂亚爵士思考过程本身也在推动这些分支学科进行更深入的交叉。正如德国物理学家量子力学创始人普朗克曾说过，“科学是内在的统一体，它被分解为单独的部分，不是由于事物的本质，而是由于人类认识能力的局限性。”对黎曼猜想的新思考，正在促进科学家们打破学科间壁垒造成的认知局限。

翻页为网传5页预印本论文，如果真的有读者大神对阿蒂亚的黎曼猜想演讲以及预印本内容有所研究，欢迎留言告诉我们结果。

多多益善！

难以置信